Расчет трансформатора тока.
Занимаясь расчетами мощного источника питания, я столкнулся с проблемой - мне понадобился трансформатор тока, который бы точно
измерял ток. Литературы по этой теме не много. А в Интернете только просьбы - где найти такой расчет.
Прочитал статью "Семисторный регулятор с защитой от перегузки" в журнале "Радио" №8 за 2003 г. автора Лаврова Б. Зная, что ошибки могут
присутствовать, я детально разобрался с данной темой. Ошибки, конечно, присутствовали: нет согласующего резистора Rc (см. рис. 2) для
согласования на выходе вторичной обмотки трансформатора (он и не был рассчитан) по току. Вторичная цепь трансформатора тока рассчитана
как обычно у трансформатора напряжения (задался нужным напряжением на вторичной обмотке и произвел расчет).
Итак, прежде всего немного теории.
Трансформатор работает как источник тока с заданным первичным током, представляющим ток защищаемого участка цепи. Величина этого
тока практически не зависит от нагрузки вторичной цепи трансформатора тока, поскольку его сопротивление с нагрузкой, приведенное к числу
витков первичной обмотки, ничтожно мало по сравнению с сопротивлениями элементов электрической схемы. Это обстоятельство делает работу
трансформатора тока отличной от работы силовых трансформаторов и трансформаторов напряжения.
На рис. 1 показана маркировка концов первичной и вторичной обмоток трансформатора тока, навитых на магнитопровод в одном и том же
направлении (I1 - ток первичной обмотки, I2 -ток вторичной). Ток I2 пренебрегая малым током намагничивания, всегда направлен так, чтобы
размагничивать магнитопровод.
Стрелками показано направление токов. Поэтому если принять верхний конец первичной обмотки за начало "Н", то началом вторичной "н"
также является ее верхний конец. Принятому правилу маркировки соответствует такое же направление токов, учитывая знак. И самое главное
правило: условие равенства магнитных потоков.
На рис.2 показана схема трансформатора тока.
Алгебраическая сумма произведений I1·W1 - I2·W2 = 0 (пренебрегая малым током намагничивания), где W1 - количество витков первичной
обмотки трансформатора, W 2 - количество витков вторички трансформатора.
Пример. Пусть вы, задавшись током W1 в 16А, произвели расчет и получилось 5 витков. Вы задаетесь током W2,
например 0,1А, и согласно вышеупомянутой формулы I1·W1 = I2·W2 рассчитаем в ней количество витков:
W2 = I1·W1 / I2 = 16·5/0,1 = 800.
Далее произведя вычисления L2 - индуктивности вторичной обмотки, ее реактивного сопротивления XL1 , мы вычислим U2 и потом сопротивление
нагрузки Rc. Но это чуть позже. То есть вы видите, что задавшись током во вторичной обмотке трансформатора I2 , вы только тогда вычисляете
количество витков. I2 трансформатора можно задать любой - отсюда будет вычисляться Rc. И еще - I2 должен быть больше тех нагрузок,
которые вы будете подключать. Трансформатор должен работать только на согласованную по току нагрузку (речь идет о Rc).
Если пользователю требуется трансформатор тока для применения в схемах защиты, то такими тонкостями как направление намоток, как
точность резистивной нагрузки Rc можно пренебречь, но это уже будет не трансформатор тока, а датчик тока с большой погрешностью. И эту
погрешность можно будет устранить, только создав нагрузку на устройстве (я и имею в виду источник питания, где пользователь собирается
ставить защиту, применяя трансформатор тока), и схемой защиты установить порог ее срабатывания по току. Если пользователю требуется схема
измерения тока, то как раз эти тонкости должны быть обязательно соблюдены.
На рис. 2 (точки - начало намоток) показан резистор Rc, который является неотъемлeмой частью трансформатора тока для согласования токов
первичной и вторичной обмоток. То есть Rc задает ток во вторичной обмотке. В качестве Rc не обязательно применять резистор, можно поставить
амперметр, реле, но при этом должно соблюдаться обязательное условие - внутреннее сопротивление нагрузки должно быть равным
рассчитанному Rc.
Если нагрузка не согласованная по току - это будет генератор повышенного напряжения. Поясню, почему так.
Как уже было ранее сказано, ток I2 трансформатора направлен в противоположную сторону от направления тока W1. И вторичная
обмотка трансформатора работает как размагничивающая. Если нагрузка во W2 трансформатора не согласованная по току или
будет отсутствовать, W2 будет работать как намагничивающая. Индукция резко возрастает, вызывая сильный нагрев
магнитопровода за счет повышенных потерь в стали. Индуктируемая в обмотке ЭДС будет определяться скоростью изменениями потока во
времени, имеющей наибольшее значение при прохождении трапецеидального (за счет насыщения магнитопровода) потока через нулевые
значения. Индуктивность обмоток резко уменьшается, что вызывает еще больший нагрев трансформатора и в конечном итоге - выход его из
строя.
Типы магнитных сердечников приведены на рис.3.
Витой или ленточный магнитопровод - одно и то же понятие, также как и выражение кольцевой или тороидальный магнитопровод: в литературе
встречаются и то, и другое.
Это может быть ферритовый сердечник или Ш-образное трансформаторное железо, или ленточные сердечники.
Ферритовые сердечники обычно применяется при повышенных частотах - 400 Гц и выше из-за того, что они работают в слабых и средних
магнитных полях (Вm = 0,3 Тл максимум). И так как у ферритов, как правило, высокое значение магнитной проницаемости µ и узкая петля
гистерезиса, то они быстро заходят в область насыщения. Выходное напряжение, при f = 50 Гц, на вторичной обмотке составляет единицы вольт
либо меньше. На ферритовых сердечниках наносится, как правило, маркировка об их магнитных свойствах (пример М2000 означает магнитную
проницаемость сердечника µ, равную 2000 единиц).
На ленточных магнитопроводах или из Ш-образных пластин такой маркировки нет, и поэтому приходится определять их магнитные свойства
экспериментально, и они работают в средних и сильных магнитных полях (в зависимости от применяемой марки электротехнической стали - 1,5...2
Тл и более) и применяются на частотах 50 Гц...400 Гц.
Кольцевые или тороидальные витые (ленточные) магнитопроводы работают и на частоте 5 кГц (а из пермаллоя даже до 25 кГц). При расчете S -
площади сечения ленточного тороидального магнитопровода, рекомендуется результат умножить на коэффициент к = 0,7...0,75 для большей
точности. Это объясняется конструктивной особенностью ленточных магнитопроводов.
Что такое ленточный разрезной магнитопровод (рис. 3)?
Стальную лента, толщиной 0,08 мм или толще, наматывают на оправку, а затем отжигают на воздухе при температуре 400...500 °С для
улучшения их магнитных свойств. Потом эти формы разрезаются, шлифуются края, и собирается магнитопровод. Кольцевые (неразрезные) витые
магнитопроводы из тонких ленточных материалов (пермаллоев толщиной 0,01.. .0,05 мм) во время навивки покрывают электроизолирующим
материалом, а затем отжигают в вакууме при 1000...1100 °С.
Для определения магнитных свойств таких магнитопроводов надо намотать 20...30 витков провода (чем больше витков, тем точнее будет значение
магнитной проницаемости сердечника) на магнитопровод и измерить L-индуктивность этой намотки (мкГн). Вычислить S - площадь
сечения сердечника трансформатора (мм2), lm-среднюю длину магнитной силовой линии (мм).
И по формуле рассчитать µ - относительную магнитную проницаемость сердечника :
(1) µ = (800·L·lm) / (N²·S) - для ленточного и Ш-образного.
(2) µ = 2500·L(D + d) / W²·C(D - d) - для кольцевого (тороидильного).
При расчете трансформатора на более высокие токи применяется провод большого диаметра в W1, и здесь вам понадобится
витой стержневой магнитопровод (П-образный), витой кольцевой сердечник или ферритовый тороид.
Если кто держал в руках трансформатор тока промышленного изготовления на большие токи, то видел, что первичной обмотки, навитой на
магнитопровод, нет, а имеется широкая алюминиевая шина, проходящая сквозь магнитопровод.
Я напомнил об этом затем, что расчет трансформатора тока можно производить, либо задавшись Вm - магнитной индукцией в сердечнике, при
этом первичная обмотка будет состоять из нескольких витков и придется мучиться, наматывая эти витки на сердечник трансформатора. Либо надо
рассчитать магнитную индукцию Вm поля, создаваемую проводником с током, в сердечнике.
А теперь приступим к расчету трансформатора тока, применяя законы.
Вы задаетесь током первичной обмотки трансформатора, то есть тем током, который вы будете контролировать в цепи.
Пусть будет I1 = 20А, а частота, на которой будет работать трансформатор, f = 50 Гц.
Возьмем ленточный кольцевой сердечник OЛ25/40-10 или (40x25x10 мм), схематично представленный на рис.4.
Размеры: D = 40мм, d = 25мм, С = 10мм.
Для проверки относительной магнитной проницаемости я намотал 20 витков провода на кольцевой сердечник и измерил прибором Е7-11
индуктивность обмотки. Прибор показал индуктивность 262 мкГн. Далее по формуле (2) рассчитал µ.
В формуле (2) D, d, С - размеры кольцевого магнитопровода в мм; L - индуктивность в мкГн; W - количество витков (рис.4).
µ = (2500·262(40 + 25))/(20²·10(40 - 25)) = 710.
Рассчитаем Dср = (D + d)/2 - средний диаметр кольца:
Dср = (40 + 25)/2 = 32,5 мм = 32,5·10ˉ³ м.
Средняя длина магнитной силовой линии Im = π·Dср:
Im = 3,14·32,5 = 102,1мм = 102,1·10ˉ³ м.
Площадь сечения магнитопровода S = [(D - d)/2]·С:
S = [(40 - 25)/2]·10 = 75 мм² = 75·10 -6м²
Поправка с учетом вышесказанного S = 75·0,7 = 52,5·10 -6м².
Произведем расчет по первому случаю с намоткой первичной катушки на сердечнике.
Зададим Вm - магнитную индукцию в сердечнике, так как этот метод более удобен для частот 400 Гц и ниже.
Для ленточных кольцевых магнитопроводов максимальная индукция Вm - 1,5...2 Тл. Выберем 1 Тл.
(З) Напряженность поля, необходимая для создания магнитной индукции Вm = 1 Тл:
Н = Вm/µ·µо = 1/4π·10 -7·710 = 1120,8 А/м,
где µо - магнитная проницаемость в вакууме - 4π·10 -7.
(4) Рассчитаем ток Аw, приходящий на Im магнитную силовую линию:
Aw = Н·Im = 1120,8·102,1·10ˉ³ = 114,4 А.
(5) Число витков W1 трансформатора: W1 = Аw\I1=114,4/20 = 5,72 витка. Возьмем W1 = 6 витков.
(6) Индуктивность L1 первичной обмотки:
L1 = µ·µо·W1²·S/Im = 4π·10 -7·710·6·52,5·10·-6/ 102,1·10-3= 16,52·10-6Гн.
(7) Индуктивное сопротивление ХL1 первичной обмотки на частоте сети f = 50 Гц:
ХL1 = 2π· f·L1 = 2·3,14·50·16,52·10-6= 5,186·10-3.
(8) Падение напряжения U1 на W1:
U1 = I1·ХL1 = 20·5,186·10-3 = 0,104 В.
(8а) Мощность Р1 в первичной обмотке:
Р1 = U1·I1 = 0,104·20 = 2,08 Вт.
А теперь вспомним самую первую формулу: I1·W1 - I2·W2 = 0 и вычислим количество витков W2 трансформатора, задавшись током I2. Еще
раз повторюсь: I2 трансформатора вы задаете сами исходя из соображений достаточности дальнейшей нагрузки, создаваемой схемами
ограничения или схемами измерения. Пусть это будет I2 = 0,1 А.
(9) W2 = I1·W1/I2 = 20·6/0,1 =1200 витков.
(10) n = W2 / W1 = 1200/6 = 200 - коэффициент трансформации.
(11) Тогда U2 = U1·n.
U2 = 0,104·200 = 20,8 В.
Напряжение на W2 трансформатора U2 вы можете рассчитать другим способом: сначала по формуле (2) рассчитать L2 -
индуктивность вторичной обмотки трансформатора, ХL2 как в (7) и потом U2 как в (8). Значение должно быть одинаковым. Теперь, зная U2 и I2,
рассчитаем Rс.
(12) Rс = U2/I2 = 20,8/0,1 = 208 Ом.
(13) Рассчитаем мощность на резисторе:
Р2 = U2·I2 = 20,8·0,1 = 2,08 Вт.
Возьмем резистор мощностью 2 Вт.
Обратите внимание на (8а) и сравните с (13). Мощность во W2 не должна превышать мощность W1. Как видите,
напряжение на вторичной обмотке трансформатора получилось 20,8 В.
Рассчитав I2 и напряжение U2, вы можете подключить сюда вольтметр с полным током рамки не бопее 100 мА, шкалой в 25 В и косвенно
измерять ток от 0... 20 А.
Но если вам этого напряжения недостаточно, то надо задать Вm не 1 Тл, а 1,2 и далее произвести расчет с (3) вновь, не боясь, что
магнитопровод войдет в область насыщения, так как Вm может достигать и 2 Тл. Но можно задать I2 меньше и пересчитать, начиная с
(9).
Произведем расчет по второму случаю с проводником через тороидальный сердечник.
Рассчитаем магнитную индукцию Вm поля, создаваемую проводником с током, в сердечнике по формуле:
(14) Вm = (µ·µо)(I1/2πRср).
Магнитопровод тот же: 40х25х10 мм.
Dср = (40 + 25)/2 = 32,5 мм = 32,5·10-3 м.
Площадь сечения сердечника S = [(40 - 25)/2]·10 = 75 мм2 = 75·10-6 м2.
Поправка с учетом вышесказанного:
S = 75·10-6·0,7 = 52,5·10-6 м2.
Средняя длина магнитной силовой линии Im = 102,1 мм = 102,1·10-3м.
Rср=Dср/2.
Rср = 32,5/2 = 16,25·10-6 м.
С - толщинa сердечника (рис.4).
На рис.5 показан разрез тoроидального сердечника по толщине ((это уточнение чертежа рис.4 (правый рисунок)).
Rcp — средний радиус сердечника в мм; С - толщина сердечника в мм.
Линией АБ показан проводник с током, проходящий сквозь тороидальный сердечник. Линия АБ также является геометрическим центром тора.
Стрелками внутри тора указано направление Вm.
Вычислим Вm по формуле (14).
(14') Вm = 12,57·10-7·710·20/6,28·16,25·10-3 = 0,175 Тл.
Вычислим индуктивность этого провода:
(6') L1 = (4π·10-7·710)(0,92/102,1·10-3·52,5·10-6= 3,72·10-7 Гн.
Индуктивнoе сопротивление ХL= 2π·f·L = 6,28·50·3,72·10-7 = 1,17·10-4Ом.
Падение напряжения на первичной обмотке
U1 = I1·ХL = 20·1,17·10-4=2,33·10-3В.
Мощность в первичной обмотке
Р1 = U1·I1= 2.33·10-3·20 =46,7·10-3Вт.
Возьмем I2 = 15·10-3 А.
Тогда как в (9) W2 = I1·W1/I2
W2 = 20·0,9/15·10-3 = 1200.
n=W2/W1=1200/0,9=1333.
U2= U1·n = 2,33·10-3·1333 = 3,12 В.
Вы помните формулу для определения количества витков:
W = Е·104/(4,44·f·В·S·kм)?
С учетом того, что S вычисляется в см2, я перепишу в м2, то есть уберется множитель 104.
Е = 4,44·f·W·В·S·kм,
где kм - коэффициент заполнения медью.
Е = 4,44·50·1200·0,175·52,5·10-6·0,7 = 3,675 В.
Как видите, почти совпало.
Кроме коэффициента kм должны применяться: kф - коэффициент формы; kс - коэффициент стали.
Я думаю, дальше пояснять нет надобности. В итоге Е будет иметь меньшее значение напряжения.
В формуле (6) W - количество витков - я поставил 0,9 витка первичной обмотки. Это объясняется сложностью магнитного поля, создаваемого
проводником с током, проходящим через тор.
Все изложенное в этой статье вы можете проверить практически. Произведя расчет, я собрал этот тор и убедился на стенде, что теория
права.
Хрипченко В.
РЛ 2007/05,06
| << Предыдущая | Cледующая >> |